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In seguito alla precisazione aggiungo alcuni punti.
1)
L'equazione differenziale che descrive il comportamento nel tempo della corrente nel circuito e' una e una sola
d I(t) / dt + (R / L) I(t) - eps = 0
2) Esiste una UNICA soluzione dell'equazione che esprime la dipendenza nel tempo della corrente che scorre nel circuito. Con la condizione iniziale I (0 ) = 0 la soluzion e'
I(t) = (eps/R) ( 1 - exp(- t / tau) )
e non ce ne sono altre
3) Interpretando i tui appunti posso dirti che il discorso che il tuo prof sta facendo e' in sintesi questo.
Considera la corrente in funzione del tempo
I(t) = (eps/R) ( 1 - exp(- t / tau) )
posso scriverla come somma algebrica di due correnti
I (t) = Is - Iind
A)
Is e' la corrente stazionaria, quelle che scorrerebbe se l'induttanza fosse sostituita da un filo. E' la corente che scorre a regime quando il circuito si e' stabilizzato vale
Is = eps / R
come vedi e' la corrente che avresti collegando il resistore R al generatore di tensione eps
B)
Iind =(eps / R) exp(- t / tau)
Questa e' quella che chiami corrente indotta. E' un termine che dipende dal fatto che quando la corrente varia varia il flusso di B nell'induttore ( Flusso_B = L I(i) per definizione di autoinduttanza) e quindi si crea una fem. Questa fem si oppone ( COME SE fosse un generatore che fa scorrere una corrente in verso opposto a quella generata dal generatore reale) alla corrente Is che sta aumentando, in particolare a t = 0 la corrente
Iind = eps/R = Is
uguale a Is ma opposta in direzione.
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MI sembra di capire che in serie al circuito RL ci sia un generatore (ideale) di tensione pari ad eps.
La corrente che hai trovato e' la corrente che scorre nell'induttore a causa del fatto che hai conesso il generatore. "indotta" e' un termine improprio
Supponi che la corrente al tempo zero sia nulla. La corrente inizia scorrere facendo cambiare il flusso di B nell'induttore , se cambia il flusso di B nell'induttore appare una tensione indotta fem che "si oppone" al cambiamento. Questa tensione e' ai capi dell'induttore.
Al generico istante hai
tensione ai capi del generatore Vg = eps ( costante se e' un generatore ideale)
tensione ai capi del resistore = Vr = R I(t)
La fem e' data da
fem = integrale (sul circuito) [ E_ * dl_]
che sappiamo essere (faraday)
fem = - d PhiB(t) / dt
Adesso se trascuri l'induttanza del resistore e dei fili che collegano i componenti il flusso di B e' solo nell'induttore e vale
Phi(B) = L I(t)
(definizione ci coefficiente di autoinduttanza)
per cui
d PhiB(t) / dt = L d I(t) / dt
quindi
| fem | = L d I(t) / dt
la fem e' tra i capi dell'induttore
tensione ai capi dell'induttotre Vind = fem
Allora
Vg = Vr + Vind
eps = R I(t) + L dI(t) / dt
d I(t) / dt + (R / L) I(t) - eps = 0
Che e' la tua equazione che risolta con I(0) = 0
Ti fornisce
I(T) = (eps/R) ( 1 - exp(- t / tau) )
con tau = L / R
attento che nei tuoi appunti la formula finale ha un errore, manca l' 1 prima del meno.
La corrente I(t) e' la corrente che scorre nell'induttanza a causa di TUTTO il circuito e varia nel tempo. C'e' perche c'e' il generatore colegato. Per tempi grandi la corrente e' costante = eps/ R , quindi non c'e' piu' variazione di flusso. Il circuito e' a regime (matematicamente lo e' asintoticamente, fisicamente dopo 5 costanti tempo lo puoi considerare a regime).
In pratica a regime non essendoci fem (e trascurando la resistenza dei fili che costituiscono l'induttore) l'induttore e' un filo che collega il resistore alla batteria. Infatti a regime I = eps / R e' la corrente che eroga il generatore.