il punto a) lo hai risolto brillantemente!

b) e c) li risolvi scrivendo la prima eq. cardinale della dinamica:

SOMMATORIA (forze agenti su un corpo) = m*a

scrivi le forze agenti sulla massa m:

forza peso: P= mg

forza molla: Fmolla=kx (che però ha verso opposto al vettore peso...)

dunque ottieni mg - kx = ma ;

esprimendo l'acc. come derivata seconda dello spazio: a(t)=x''(t)

ottieni l'eq.diff. mx''+ kx = mg

con COND. INIZIALI x(0) = 0 ; x'(0)=v(0)=0 (ho messo l'origine degli assi nel punto in cui si trova la massa al tempo zero). Chiamando la pulsazione w=radice(k/m) e risolvendo l'eq.omogenea (moto armonico) trovi

xomog(t)=Acos(w*t+teta0)

una soluzione particolare è xpart(t)=mg/k

la sol- generale è x(t) = Acos(w*t+teta0) + mg/k

imponendo le CONDIZIONI INIZIALI trovi

Acos(teta0) + mg/k = 0

-A*wsen(w*0+teta0) = 0 ----> teta0= 0

e A= - mg/k

alla fine la legge oraria della massa è x(t) = mg/k * [1 - cos(wt)]

v(t) = x'(t) = mg/k * w * sen(wt)

per sapere la Vmax dobbiamo imporre dv/dt = 0 per trovare "tstar": il tempo in cui la velocità è max.

dv/dt = mg/k * w * w cos(wt) = gcos(wt) = 0

---> w*tstar = pi.greco/2 -> tstar = pi/(2*w) ;

c) Vmax = v(tstar) = mg/k * w * sen(pi/2) = radice(m/k) *g = 0.83 m/s

b) La posizione in cui la velocità è massima è x(tstar) = mg/k * [1 - 0] = 0.07 m



Fiuuu... ce l'abbiamo fatta!! :)

Il punto A lo hai risolto bene e per i due punti restanti io non scomoderei le equazioni differenziali anche perché per questo problema non servono anzi, servono a farti capire che molti problemi possono essere risolti con l'energia che è un metodo veloce ed elegante. Infatti per risolverlo occorre solo capire "fisicamente" come si comporta questo sistema massa - molla dopo il taglio del filo.

Come hai giustamente calcolato tu la molla si comprime di 14 cm ed in questo punto il tutto è fermo poi il sistema riprende il moto fino a tornare al punto di partenza: in pratica oscilla indefinitamente tra questi due punti. il moto è armonico (spero di non stupirti dato che è il moto classico del sistema massa - molla) ed Il punto di equilibrio di una molla che oscilla è proprio nel punto in cui la forza peso eguaglia quella elastica:

m*g = k*x

x = 0.07 m

Da questa posizione si alza e si abbassa di 7 cm e comunque non stupisce che sia a metà no?

Per la velocità massima se hai studiato questo semplice sistema sai che è proprio in questo punto. Infatti quando la massa è nel punto più basso (velocità nulla) inverte il moto ed acquista velocità accelerando sino al punto di equilibrio per poi cominciare a decelerare sino ad arrivare al punto più alto ove la velocità torna di nuovo nulla. Sapendo che l'energia si conserva hai innanzitutto che quella totale vale

E = m*g*x

e nel punto medio hai, prendendo come 0 dell'energia potenziale il punto più basso:

E = 0.5*m*V^2 + m*g*(x/2) + 0.5*k*(x/2)^2

somma dell'energia cinetica, potenziale e potenziale elastica.

La parte che ci interessa è quella cinetica (Ec) che è

Ec = 0.5*m*V^2 = m*g*x - m*g*(x/2) - 0.5*k*(x/2)^2 = 0.172 J

Trovi subito

V = radq(2*Ec/m) = 0.83 m/s [radq = radice quadrata]

Il mio amico ingegnere mi cube: "non commento troppo: F=ma a=F/m S=a million/2*a*t^2 t=sqrt((2*S/a)) (nb sqrt="radice di" non so quanto sei pratica con le notazioni informatiche...) a=V/t V=a*t e questo consistent with l. a. velocità consistent with l. a. conservazione dell'energia E=ok+Ep ah, sì Frank, non mi ricordavo l. a. formula di torricelli consistent with il moto unif. accelerato, ho fatto due passaggi in più" E1=K1=a million/2*m*V1^2 E2=K2*Ep2=a million/2*m*V2^2+m*g*h quindi mettendo l. a. velocità finale dopo che l'hai lanciato a nil (fino a dove arriva...) e equivagliando le energie: a million/2*m*V1^2=m*g*h espliciti h e hai l. a. quota..."