Per risolvere questi esercizi ocorre una buona conoscenza delle leggi fisiche, ma anche avere gli strumenti matematici adatti. Il moto dei proiettili fu risolto nel 1600 da Galileo che stravolse la fisica aristotelica introducendo il suo sistema di equazioni del moto dei gravi. Fu il primo a capire che un proiettile lanciato da un'arma seguiva una traiettoria "parabolica" ed era soggetto a due fenomeni contemporaneamente, quello dovuto all'azione di un'attrazione che tentava di far ricadere l'oggetto e quello della spinta iniziale che gli imprimeva una direzione ed una velocità. Ti faccio il suo esempio: se fai cadere un oggetto dall'alto che parte da fermo, questo raggiunge il suolo con una velocità vf (velocità finale); ora poichè all'inizio era fermo, si può affermare che la sua velocità media è data da (vf - v0)/2. D'altro canto, luui aveva "intuito" (fu questa la sua geniale visione) che la velocità di caduta dei gravi fosse "proporzionale" al tempo e scrisse v = a*t perché aveva "misurato" con i battiti del suo cuore il tempo di caduta e si era accorto, grazie all'uso del piano inclinato che rallentava il movimento di caduta permettendone uno studio più accurato, che gli spazi percorsi da una sferetta in caduta erano proporzionali al quadrato del tempo. Era sulla buona strada, non c'è che dire. Se scrivi S = v*t e sostituisci a v il valore della velocità media (vf-vi)/2 ottieni S = (vf-vi)/2 * t, se ricordi, adesso che è vi = 0 ottieni: S = vf/2 * t, se poi sei certo, come lo fu "lui" che v = a*t e sostituisci, ricavi S = (a*t/2) * t = 1/2 a*t^2. Ora, dalla x = a * t ricava il tempo t: t = x/a e sostituiscilo nell'ultima: S = 1/2 a* x^2/a^2 semplifica e ricavi: S = x^2/2a. Ora essendo l'accelerazione "a" una costante, anche tutto il termine 1/(2a) è una costante "k" e la formula si riduce alla S = k*x^2 che è proprio l'equazione di una "parabola" come aveva previsto il buon Galileo.

Ora, dopo il "gedanken experimenta" galileiano, prova a "vedere" con la tua mente il moto di un imamginario proiettile; se lo lanci verticalmente questo ricadrà (in assenza di accidenti perturbatori) esattamente nello stesso punto da dove è stato lanciato perché tutta la velocità iniziale è diretta "verso l'alto" e il proeittile, una volta raggiunta la sua massima altezza diminuendo continuamente la sua velocità, ricadrà riacquistando la stessa velocità con cui era stato lanciato (legge di conservazione del moto). Se invece di lanciarlo in "verticale" lo dirigi con una angolo diverso ecco che oltre a "salire" il proiettile inizierà a muoversi anche nella direzione del lancio; poichè la velocità è conservativa, in ogni istante essa sarà la somma di quella parte che tende a portare il proiettile verso l'alto a cui si somma quella che lo sposta nella direzione di lancio. Quali sono queste due parti? Ecco che qui hai bisogno di conoscere un pò di Trigonometria in modo che utilizzando le formule goiniometriche seno e coseno di un angolo puoi suddividere la velocità iniziale del proiettile nelle sue due componenti in ascissa e in ordinata; pertanto, detta v la velocità di lancio del proiettile e alfa l'angolo di tiro, ricavi che la componente lungo l'ascisse è Vx = v * cos alfa e Vy = v * sen alfa. Una volta che hai i valori relativi di queste grandezze (puoi verificare la conservatività del moto trovandone il "modulo" |v| = sqrt(v^2 cos^ alfa + v^2 sen^2 alafa) = v * sqrt(cos^2 alfa + sen^2 alfa) = v * sqrt(1) = v).

Adesso non resta che trovare "qual è l'altezza massima raggiunta" da un proiettile lanciato verso l'alto (con o senza una direzione); per fare questo utilizziamo la formula S = vt, dove v è la velocità iniziale. Tieni presente che al poriettile, una volta applicata la spinta iniziale, procederebbe, per la prima legge della meccanica, di moto rettilineo uniforme, ma, poichè è anche soggetto alla gravitazione, dovrai tenerne conto pertanto l'altezza raggiunta sarà: h = v*t - 1/2 a*t^2; quando il proiettile raggiunge la quota possibile si avrà: v*t - 1/2 a*t^2 = 0 da cui ottieni facilmente: v*t = 1/2 a*t^2 semplificando una "t" ricavi: v = 1/2 a*t da cui finalmente ottieni il tempo di volo del poriettile t = 2*v / a e l'altezza raggiunta sarà, perciò: h = 1/2 a*t^2 = 1/2 a*(2*v/a)^2 = 1/2 a* (4v^2/a^2) = 2v^2/a. Ricordando che lo spazio, nel tempo t, è la distanza percorsa in salita e in discesa, cioè è il doppio, otterrai l'altezza massima raggiunta dalla h/2 = v^2/a. Ora essendo l'accelerazione in gioco quella gravitgazionale, che ha il simbolo "g", si ricava la formula finale: h = v^2/g.