Ciao a Tutti



Ricordo che il differenziale di una funzione è a sua volta una FUNZIONE LINEARE che approssima la funzione stessa in un opportuno intorno:



http://www.fioravante.patrone.name/mat/u-u/it/chi_e_dx_punto_interrogativo.pdf



La confusione nasce dal fatto che fisici ed ingegneri fanno un esagerato uso del celeberrimo ed errato metodo urang–utangⓒ non solo per risolvere i loro conti ma purtroppo persino per produrre i loro modelli matematici... Nessuno di loro ha la pazienza di seguire il metodo classico che è il seguente [e che se stiamo a vedere è l'unico corretto]:



http://www.fioravante.patrone.name/mat/u-u/it/equazioni_differenziali_intro.pdf



Esistono però alcuni metodi per rendere rigorosa la scorretta matematica usata dai fisici e dagli ingegneri [e dunque poter anche dare ai loro "differenziali" un significato fisico che sia anche matematicamente corretto].



Un primo metodo consiste nel vedere tutti i loro d(∙) come FORME DIFFERENZIALI. In questa dispensa trovi una breve spiegazione:



http://www-dimat.unipv.it/giulio/linkedmaterial/camb08/formedif-gilardi.pdf



Come puoi vedere servono delle solide basi di Algebra Lineare e Multilineare per poter padroneggiare con disinvoltura alcuni ragionamenti.



Un altro metodo consiste nel ricorrere alla cosiddetta ANALISI NON STANDARD. In essa vengono formalizzati rigorosamente alcuni concetti quali numeri ipereali e infinitesimi fornendo delle linee guida per poter usare con disinvoltura i vari d(∙) proprio come se fossero numeri naturali. Il prezzo da pagare è decisamente elevato perché si fa uso di strumenti logici estremamente avanzati non così facilmente accessibili.



Secondo me la scelta migliore rimane quella di evitare di usare "metodi strani" ricorrendo piuttosto al metodo classico proprio per evitare di complicarsi inutilmente la vita. Magari si perde un minuto in più per risolvere i conti ma almeno si è sicuri di aver seguito un procedimento che è formalmente corretto [e che tra l'altro permette anche un più rapido controllo].

Ciao Scaragiusep! Innanzitutto buon anno!

Francamente io non sono un'aquila in matematica quindi prendi la mia risposta con le molle, però mi sembra che il significato intrinseco di differenziale sia proprio "variazione infinitesima" nell'intorno del punto considerato. Quindi, il fatto che l'incremento "h" possa essere piccolo a piacere sta a significare che deve TENDERE a zero (che se non erro è proprio la giustificazione dell' "o" piccolo).

Però, mi viene da pensare a quello che diceva il Prof. Gilardi (Dipartimento di Matematica - Università di Pavia, anni 2002-2003) che ci faceva il corso di Analisi (1, 2 e 3) anche a noi studenti del dipartimento di Fisica: diceva sempre che i Fisici, lungi dal capire bene la matematica, usavano i differenziali in maniera impropria, giustificando il fatto che per i Fisici basta che le cose "funzionino empiricamente" dal punto di vista matematico per dire che "va tutto bene".

Adesso, si sa che il Gilardi è abbastanza "schietto" e per quello che mi ricordo anche abbastanza "burbero", però rimane un autore di libri che hanno segnato il periodo recente della matematica (al pari del Salsa e del Pagani).



@ Leonardo: Mi sono espresso male! Non è che Gilardi abbia paragonato la matematica alla bottega del fai da te, Gilardi (scherzosamente, come battuta) "rimproverava" il fatto che i fisici (rispetto ai matematici) sono parecchio disinvolti nell'utilizzare la notazione matematica, facendo semplificazioni senza usare il formalismo matematico. Lui infatti era ordinario del dip di Matematica, dove il fine ultimo è la matematica. Quando faceva lezione al dip. di Fisica, un po' per scherzo (questa goliardia era sentita simpaticamente tra il dip di Fisica e quello di Matematica) diceva che l'utilizzo della matematica da parte dei fisici era prevalentemente funzionale alla Fisica, senza che essi si soffermassero troppo sulla bellezza del formalismo matematico. Tutto qua. Francamente il Gilardi è un grande professore, ma era anche parecchio selettivo: celebri, durante le sue lezioni, le frasi tipo "se non capite questa dimostrazione allora avete sbagliato corso di laurea" o ancora "qui bisogna fare un minimo di sforzo mentale, non siamo a Giurisprudenza dove basta imparare a memoria le leggi...". Ovviamente lo diceva per spronare allo studio, per scherzare. Era una provocazione ironica la sua! Non voleva certamente offendere nessuno. Perlomeno, questi sono i miei ricordi personali di tale periodo.

Il differenziale di una funzione,df, è il prodotto: delta f * f '(x), coè un intervallo di valori della funzione moltiplicato la derivata della funzione in un punto dell'asse x corrispondente all'intervallo considerato. Nel caso della funzione f(x) = x il differenziale è delta x. Se delta f è piccolo per ragioni geometriche

il differenziale di una funzione può approssimarsi ad un incremento infinitesimo di valori della funzione ed in effetti ogni qualvolta si nomina un differenziale si sottintende tale eventualità; ciò risulta utile allorquando il calcolo di una derivata o di un integrale risultano difficoltosi e si approssima l'operazione in questione dimenticando la simbologia df/dx ovv. §f(x)dx e trattando tali simboli come quantità infinitesime sostitutive delle definizioni di rapporto incrementale per le derivate e di somma di prodotti per gli integrali, cioè: delta f = df e delta x = dx. La derivata risulta il rapporto di due differenziali df/dx e l'integrale il prodotto f(x) dx, si può così operare algebricamente sottintendendo che è un'approssimazione a meno di un passaggio al limite.

Francamente non credo all'amico Avanti miei prodi che ha risposto prima di me, che riferisce di un professore universitario che paragona la matematica a una bottega del fai da te, anche se certi argomenti risultano misconosciuti da persone anche quotate.