Il moto ha due componenti :
# quella orizzontale a velocità costante Vx pari alla velocità orizzontale iniziale Vox
# quella verticale a velocità Vy variabile con il tempo t e pari a Voy-g*t (se la velocità verticale iniziale Voy = 0, allora Vy = -g*t)
Quanto valgono gli spazi ΔX orizzontale e ΔY verticale al variare del tempo t ? (per Δ si intende pos. finale meno pos. iniziale)
# ΔX = Vox*t (moto uniforme)
# ΔY = Vy*t = Voy*t (moto uniforme) -g*t*t/2 (moto uniformemente accelerato) e che diventa -g/2*t^2 se Voy = 0
proviamo a fare qualche esempio chiarificatore :
Non ha senso parlare di lancio a velocità iniziale Vox puramente orizzontale ed altezza h = 0 : equivale a far strisciare qualcosa sul pavimento !!! immaginiamo di essere sopra un tavolo di altezza Y = 1,00 m e di lanciarvi una biglia alla velocità Vox = 10 m/sec ; la biglia, mantenendo intatta la propria velocità orizzontale, raggiunge il bordo del tavolo e cade al suolo : in quanto tempo t ? ed a che distanza orizzontale X dal tavolo ?
per semplicità di calcolo uso g = 10 m/sec^2 (tu, per sercizio, provati a rifare i calcoli usando la tua approssimazione usuale di g)
La caduta al suolo avviene puramente per gravità , essendo zero la velocità verticale iniziale Voy , per cui :
ΔY = -g/2*t^2
2*(-1-0) = -g*t^2
t = √-2/-10 = √1/5 = (√5)/5 sec
ΔX = (Vox*t-0) = 10*(√5)/5 = 2√5 m
La parabolicità del moto (y = k*x^2) è data dalla sua componente verticale nella quale figura il tempo al quadrato
Immaginiamo, ora di essere al suolo e di sparare un oggetto con velocità iniziale Vo = 100 m/sec ed angolo iniziale Θo di circa 37° e tal che sen Θo = 0,60 e cos Θo = 0,80
Abbiamo, per quanto detto sopra circa i due moti :
Voy = Vo*sen Θo = 100*0,60 = 60,0 m/sec
Vox = Vo*cos Θo = 100*0,80 = 80,0 m/sec
Come si approoccia il problema di determinare la distanza orizzontale coperta X e l'altezza massima raggiunta Ymax? ..bisogna, per prima cosa, trovare il tempo di volo t scrivendo l'equazione del moto verticale Y!!!
ΔY = Voy*t-g/2*t^2
poiché ΔY = (Yfin-Yin) = 0 ( altezze di sparo ed atterraggio uguali) , abbiamo :
0 = Voy*t-g/2*t^2
5*t^2 = 60*t....( si semplifica per t)
t = 60/5 = 12,0 sec
trovato t , allora X = Vox*t = 80*12 = 960 m
ed Y max ? ..la parabola è simmetrica, per cui il punto più alto lo si raggiunge dopo un tempo ty pari a t/2 = 12/2 = 6,0 sec
che impiegati nella formula del moto verticale portano al seguente risultato :
Ymax = Voy*ty-g/2*ty^2 = 60*6-5*36 = 360-180 = 180 m
allo stesso risultato si perviene utilizzando la conservazione dell'energia :
m/2*Voy^2 = m*g*h
la massa m si semplifica
h = Voy^2/2g = 60^2/20 = 1800/10 = 180 m
Una formula sintetica consente di determinare la distanza X nel seguente modo :
X = Vo^2/g*sen 2Θo = 100^2/10*0,96 = 1000*0,96 = 960 m
C'è, poi, il caso del proiettile sparato da una altezza iniziale Yo > 0 ....nel qual caso :
(0-Yo) = ± Voy*t-g/2*t^2
Supponiamo Yo = 500 m, Vo = 100 m/sec con Voy = 60 m/sec e Vox = 80 m/sec
l'angolo iniziale Θo può essere sopra o sotto l'orizzontale, per cui :
a) Θo sotto e Voy = -60 m/sec
(0-Yo) = Voy*t-g/2*t^2
(0-500) = -60*t-5*t^2
-5t^2-60t+500 = 0
semplificando per 5
-t^2-12t+100 = 0
t = (12-√12^2+4*100)/-2 = (12-23,32)/-2 = 5,66 sec
X = t*Vox = 5,66*80 = 453 m
b) Θo sopra e Voy = 60 m/sec
(0-Yo) = Voy*t-g/2*t^2
(0-500) = 60*t-5*t^2
5t^2-60t-500 = 0
semplificando per 5
t^2-12t-100 = 0
t = (12+√12^2+4*100)/-2 = (12+23,32)/2 = 17,66 sec
X = t*Vox = 17,66*80 = 1.413 m
Ymax = Yo+Voy^2/2g = 500+3600/20 = 680 m