Fornirò una dimostrazione molto elementare ma credo che sarà comunque soddisfacente per i tuoi scopi;il modello matematico che dobbiamo considerare è quello di una circonferenza di raggio R centrata nell'origine di un oppurtuno sistema di riferimento xy del piano,e di un punto che "gira "su tale circonferenza.Il modo più naturale per descrivere una circonferenza e dunque la traiettoria del nostro moto è la seguente : x(u)= Rcos(u) e1 + R sin(u) e2 con u che varia in tutto R .Osserivamo che ai fini della conoscenza del moto del nostro punto sarà sufficiente conoscere la legge che a ogni istante di tempo t successivo a un certo istante iniziale scelto (per esempio t=0) ci fornisce u ,ossia la funzione u(t) con t>=0;Supponendo quindi di conoscere tale u(t) , posto x(t) = x(u) о u(t) la funzione composta "x(u) dopo u(t)" saremo in grado a ogni istante di tempo >=0 quale punto della circonferenza è occupato dal nostro punto.la funzione x(t) definita per t>=0 è detta vettore posizione del nostro punto materiale.In modo molto naturale definiamo la velocità del nostro punto materiale come la funzione derivata di x(t) ,nel dare questa definizione stiamo lecitamente supponendo che u(t) sia derivabile per ogni t>=0 .Avremo quindi usando la regola della derivata composta per ogni t>=0
v(t)=x'(t)= d x(u) / d u (in u(t) * d u(t) / dt ( in t) = (-Rsin(u(t)e1 + Rsin(u(t)e2) * u'(t)
e in modo analogo sempre per t>=0,ipotizzando che u(t) sia derivabile 2 volte definiamo accelerazione del nostro punto materiale la derivata della velocità ossia :
a(t)=v'(t) prima di proseguire come ti accorgerai se ci mettessimo a fare tutti quei calcoli che impone il derivare la v(t) trovare prima verrebbe fuori un bel casino;per semplificare le cose facciamo allora così :poniamo per ogni t>=0
- tr(u(t))= cos(u(t))e1+sin(u(t)e2
- tg(u(t))=-sin(u(t))e1+cos(u(t))e2
Si osservi subito che
- tr'(u(t)=tg(u(t))
-tg'(u(t))=-tr(u(t))
In questo modo il vettore posizione x(t) si scrive semplicemente x(t)=R*tr(u(t))
mentre v(t)=R*tg(u(t))*u'(t) e infine a(t)=v'(t)=-R*tr(u(t))* (u'(t))^2 +R*tg(u(t))*u''(t).
Fatto questo facciamo alcune considerazioni sul moto ;diciamo subito che una delle situazioni più naturali in cui si parla di moto circolare uniforme è quella a cui è sottoposto un punto materiale soggetto a una campo di forze di tipo radiale.Spieghiamo il significato dal punto di vista matematico .Sia g(r) una funzione di variabile reale a valori reali definita solo sugli r >0 , supponiamo che g(r) sia continua sul suo insieme di definizione (0; +∞). Sia ║x║ la funzione definita su tutto R^2 che a ogni x di R^2 vi associa la sua norma rispetto al prodotto scalare standard di R^2 ,ossia per ogni x=(s,t) vale sqrt(s^2+t^2) . Sia g(║x║) la funzione ottenuta dalla composizione fra ║x║ e g(r) la quale sarà definita ovviamente su tutto R^2 tranne che l'origine (0,0) allora diremo che il campo vettoriale di R^2 definito solo su R^2 privato dell'origine definito come per ogni x di tale insieme
x=> (g(║x║)* x) / (║x║) è un campo radiale .-torniamo ora al nostro problema e alla luce di quanto detto supponiamo che F(x)=(g(║x║)* x) / (║x║) sia un campo radiale ,il contesto impone di pensare F(x) come un campo di forze ma matematicamente ciò non fa alcuna differenza .Usiamo ora la legge di Newton la quale ci dice che per ogni t>=0 sarà :
m* a(t)= F(x(t))
Dove m>0 è la massa del nostro punto materiale ,mentre F(x(t)) è la funzione ottenuta componendo F(x) con x(t) .Sostituendovi quanto sappiamo su a(t) e F(x) e x(t) avremo sempre per t>=0 :
m* (-R*tr(u(t))* (u'(t))^2 +R*tg(u(t))*u''(t)) = (g(║x(t)║)* x(t)) / (║x(t)║)=
(g((║R*tr(u(t)║)* R*tr(u(t)) / ((║R*tr(u(t)║)= (g((║R*tr(u(t)║)* tr(u(t))
dove nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che tr(u(t)) è un versore ,ossia ha norma 1.A questo punto portiamo tutto a primo membro e separiamo tutto quello che moltiplica tr(u(t) da quello che moltiplica tg(u(t) ossia scriviamo sempre per ogni t>=0 :
(m*(-R* (u'(t))^2) - g((║R*tr(u(t)║) * tr(u(t)) + (m* (R*u''(t)) * tg(u(t)) = 0
Osseriviamo ora che i versori tg(u(t) e tr(u(t)) sono ortogonali (ovviamente sempre rispetto al prodotto scalare standard di R^2) di conseguenza saranno pure indipendenti , d'altro canto quella che compare a primo membro per ogni t>=0 altro non è che una combinazione reale a coefficienti reali di suddetti versori e di conseguenza vorrà dire che affinchè tale combinazione lineare sia uguale al vettore nullo tali coefficienti dovranno essere entrambi nulli .Ossia si avrà :
1) m*(-R* (u'(t))^2) - g((║R*tr(u(t)║) =0
2) m* (R*u''(t))=0
Dalla 2 ) si ha u''(t)=0 per ogni t>=0 il che implica che u'(t) è costante per ogni t>=0.Prima di continuare facciamo una precisazione sulla Fisica Classica:questa ci insegna che se di un punto materiale conosciamo posizione e velocità a un certo istante iniziale arbitrario (nel nostro caso t=0) e conosciamo la Forza che a ogni istante di tempo agisce sul punto materiale allora siamo in grado inequivocabilmente di descrivere il moto del punto materiale in questione.Alla luce di questo discorso noi sappiamo (perchè li abbiamo scelti noi) posizione e velocità inziali ,ossia x(0) e v(0).Ritorniamo ora alle nostre considerazioni sulla 2),abbiamo detto che u'(t) è costante,sia z tale valore costante ossia sia u'(t)=z per ogni t>=0,tale fatto implica allora che a(t)=-R*tr(u(t))* (u'(t))^2 +R*tg(u(t))*u''(t) = -R*tr(u(t))* (u'(t))^2 = -R*(z^2)*tr(u(t)). Andiamo ora a calcolare la norma di a(t) .Si ha
║a(t)║ = R* (z^2) .Scopriamo allora che la norma di a(t) è costante per ogni t>=0 e vale precisamente R*(z^2).Andiamo ora a considerare v(t),si ha v(t)=Rz*tg(u(t)) e calcolandone la norma si ha║v(t)║ =R*mod(z) dove mod(z) è il modulo di z. .Dunque si può dire che(║v(t)║)^2 = R^2 * z^2 ossia z^2= (║v(t)║)^2/ R^2.Quindi sostituendo z^2 nell'espressione di ║a(t)║ = R* (z^2)= (║v(t)║)^2/R che era la tua richiesta . Inoltre Dalla 1) possiamo ricavare il valore di z,infatti si ha :
z^2= - g((║R*tr(u(t)║) / mR dunque dovrà essere g((║R*tr(u(t)║) <=0.D'altro canto in base alla condizioni iniziali dovrà essere v(0)=R*z*tg(u(0)) da cui
mod(z)=(║v(0)║)/R e visto che v(0) lo scegliamo noi possiamo dire che se v(0) ≠
0 allora z≠ 0 e di conseguenza g((║R*tr(u(t)║) < 0 e quindi sarebbero possibili due valori di z = +/- sqrt (-g((║R*tr(u(t)║)) ,in realtà l'uso dell'altra condizione su x(0) come si può mostrare rende valido solo un valore di z .I due valori di z corrispondono ai due "sensi" di percorrenza della circonferenza .Si osservi che in ogni caso a(t)=-R*(z^2)*tr(u(t)) "punta" sempre nel verso opposto di tr(u(t)) ossia verso il centro della circonferenza da qui il nome di centripeta dato all'accelerazione e analogamente v(t)=Rz*tg(u(t)) "punta" nella direzione tangente alla circonferenza .Ciao.