Energia cinetica
L'energia cinetica è il lavoro che si deve compiere su un corpo di massa m, inizialmente fermo, per portarlo ad una certa velocità assegnata. L'energia cinetica non è, quindi, la capacità che ha un corpo in moto con velocità v di compiere lavoro (è il lavoro che si deve compiere sul corpo; non è detto che essendoci energia cinetica ci sia anche lavoro e viceversa l'assenza di energia cinetica non implica l'impossibilità di compiere lavoro). L'energia cinetica di un punto materiale può essere espressa matematicamente dal semiprodotto della sua massa per il quadrato del modulo della sua velocità; in coordinate cartesiane si esprime di consueto come:
L'energia cinetica di un corpo rigido in rotazione su un asse con velocità angolare ω e che trasla nello spazio con velocità v è:
dove M è la massa totale del corpo ed I il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.
L'energia cinetica dipende dal sistema inerziale di riferimento. In un sistema di riferimento stazionario l'energia cinetica assume un valore inferiore di quello assumibile in un sistema di riferimento in movimento. L'energia cinetica aggiuntiva è quella corrispondente all'energia cinetica di traslazione della massa m alla velocità v di spostamento del sistema inerziale di riferimento.
Una utile relazione tra l'energia cinetica Ek e il modulo della quantità di moto p è data dalle seguenti equazioni:
La dimostrazione è immediata sostituendo nell'espressione di Ek quella di p.
Indice
1 Teorema delle forze vive
2 Meccanica relativistica
3 Bibliografia
4 Voci correlate
Teorema delle forze vive [modifica]
La potenza è definita come compiuto nell'unità di tempo; nel sistema internazionale di unità di misura la potenza si misura coerentemente in watt (W), come rapporto tra unità di energia in joule (J) e unità di tempo in secondi (s). In meccanica classica, l'energia cinetica di un corpo di massa m è il lavoro necessario per portarlo da una velocità iniziale nulla ad una velocità finale v. Questa definizione può essere formalizzata grazie a quello che storicamente prende il nome di teorema delle forze vive, oggi più noto come teorema dell'energia cinetica. Ne vediamo ora una rapida dimostrazione, rimandando per approfondimenti alla voce specifica.
Consideriamo un punto materiale di massa m. Sia F una forza agente su di esso. Vale il secondo principio della dinamica:
ovvero:
Consideriamo ora:
Il primo membro di questa equazione prende il nome di potenza della forza
Consideriamo ora l'integrale dell'espressione precedente da un tempo iniziale ti ad un tempo finale tf. Si ha:
Il primo membro rappresenta per definizione il lavoro della forza sul punto materiale. Il secondo membro si può invece esprimere come segue:
Ricordando che la precendente diventa:
Derivando il seguente prodotto scalare si ottiene invece:
che sostituita alla precedente permette di ottenere
ovvero la variazione di energia cinetica di un punto materiale tra un istante iniziale e uno finale è uguale all'integrale della potenza delle forze agenti sul corpo tra tali istanti, che prende il nome di lavoro ed è stato indicato con L.
In pratica si ha che il lavoro compiuto dalla forza F quando il corpo si sposta da uno stato iniziale ed uno stato finale e` uguale alla variazione dell`energia cinetica del corpo.
Meccanica relativistica
Nella meccanica relativistica di Einstein (impiegata particolarmente nelle velocita prossime alla velocità della luce) la massa è sempre costante, ma il lavoro necessario a portare ad una velocità v una particella di massa (propria) m inizialmente in quiete non dipende dal quadrato della velocità come nel caso classico, anzi diverge per .Posti
l'energia cinetica del corpo,
il modulo della velocità del corpo,
la velocità della luce nel vuoto,
la massa (a riposo) del corpo,
l'energia del corpo in quiete e
l'energia del corpo in movimento
il lavoro L necessario per accelerare una particella di massa m inizialmente in quiete fino ad una velocità v è pari a:
in cui γ è il seguente fattore di Lorenz:
Espandendo in serie di Taylor per piccoli :
Lo sviluppo in serie rende evidente che per valori piccoli della velocità v tutti i termini superiori al primo sono trascurabili e la serie assume il valore
che, tenendo conto della velocità iniziale nulla, è proprio l'espressione del teorema dell'energia cinetica in meccanica classica. La formula di Einstein generalizza quindi l'energia cinetica alle alte velocità
È immediato dallo sviluppo in serie notare che quando v tende a 0 il rapporto tra l'energia cinetica relativistica e quella Newtoniana data da si approssima ad 1:
La teoria della relatività afferma che l'energia cinetica di un oggetto tende all'infinito per velocità che si avvicinano alla velocità della luce, e diventa pertanto impossibile accelerare il corpo fino a raggiungere tale velocità. In altri termini la velocità della luce non può essere raggiunta da alcun corpo materiale mediante ac